上次我们讲述的是一个古老的问题：如何从信息的角度来看待物理学？从麦克斯韦妖说起（点击蓝字查阅原文）。
这次我们来讲一个非常前沿的话题，所谓变分量子电路的Clifford拟设。Clifford电路是一种特殊的量子电路，其应用非常广泛。
在我们最近的译文“彼得·肖尔：量子计算的早期岁月”中（点击蓝字查阅原文），作者事实上就提到了Clifford电路在纠错和容错中的作用。因此利用Clifford框架来简化变分量子电路是非常自然的。
我们想借这个主题来看看，量子计算是如何启发我们去改善实际问题的经典求解方案的。要严格地解释清楚这些内容有点难，得用到一定的公式。
这里我们牺牲一些严格性，尽量用通俗的语言来解释背后的思路。另外这里会用到一些初步的量子电路知识，大家先了解一下，后续文章再详细介绍。
Hartree-Fock近似Clifford拟设的应用范围很广，我们选择从量子化学问题入手，这样更形象易懂一些。
我们知道，对原子轨道和光谱的研究在量子力学的建立过程中起了重要的推动作用。最终，我们发现原子分子中的电子结构都是由Schrdinger方程决定的。于是我们需要求解不同体系的Schrdinger方程。
物理学家们把最简单的情形，只有一个电子的氢原子/类氢离子，解析求解出来了。接着他们发现只要电子数大于一，哪怕仍然是单个原子，求解都不那么容易，于是把这个难题抛给了化学家。
下面我们着重考虑多电子分子的情形，多电子原子可以类似处理。化学家们觉得严格的解析求解不太现实，退而求其次，尝试近似的数值求解。
他们的思路是这样的：既然多个电子同时求解有困难，那就一个一个来好了。把每个电子依次抽离出来，其余电子的效应用一个平均的电场来取代。这就得到了一个类似氢原子的单电子体系（当然，比氢原子还是复杂多了，因为没有对称性），是可以直接求解的。最后将所有电子的分布拼起来，得到整个体系的电子结构，这就是Hartree近似。
不过，由于电子是不可区分的，我们在拼的过程中必须考虑所有可能的置换。而电子是所谓的费米子，两两互换是反对称的，我们在置换时必须保证这一点。考虑了这些因素后，Hartree近似就被提升成了Hartree-Fock近似。
在实际操作中，计算电子之间的相互作用需要预先知道它们的分布，所以求解过程没法一步到位。我们必须先猜测一个初始解，再推导下一步的电子构型，迭代下去，直到过程收敛。这整套求解方案被称为Hartree-Fock自洽场方法。
总而言之，通过Hartree-Fock近似，我们可以对多电子的分子体系快速地求解出一套单电子态。这就是所谓的分子轨道。
依照Pauli不相容原理把所有电子适当填充到这些轨道上，就可以得出近似的分子基态以及低激发态。Hartree-Fock态里每个电子都是独来独往的，而真实的物理态中电子会有一定的倾向成双成对出现，从而使得能量更低。
为了合理描述电子之间的关联，人们在Hartree-Fock近似的基础上做了各种改进，这里不一一详述。
从分子轨道到量子比特现在我们试图用量子计算来求解分子体系，就像Feynman最开始提议的那样。
我们选择以Hartree-Fock分子轨道为出发点。原则上我们也可以从所有原子的原子轨道出发，但是不同原子的轨道之间会有重叠，处理起来更麻烦一点。
怎么用量子比特来描述分子轨道上的电子状态呢？我们知道，相比于经典比特只能处在0或1的状态，量子比特可以处在任意的叠加态上。
考虑到一些物理约束后，我们可以用Bloch球面来形象地表示量子比特的可能状态：
量子比特的布洛赫球面表示
特别地，经典比特的0和1分别对应着球面的北极点和南极点。
我们知道，因为Pauli不相容原理，分子轨道（准确地说，是考虑了电子自旋后的分子轨道）上要么没有电子，要么有一个电子。
如果我们局限在Hartree-Fock框架中，那么分子轨道上的电子状态用经典比特就可以描述了。
现在我们推广到量子比特的情形。一个自然的做法是，仍然用
1和
0表示有无电子的情形（事实上这并不是唯一的选择）。但这还不够，我们还得知道电子是怎么跑上去，又是怎么跑掉的。如果体系包含多个电子，这会带来一个问题，就是电子互换的问题。
假定我们把Hartree-Fock分子轨道按能量高低排成一列，或者说排列在一个方向上。中间轨道的电子被激发或者退激发的时候得越过更高轨道中的那些电子。但是我们知道电子是费米子，两两互换的时候会出现一个负号。
而现在的量子比特绝大部分都是用玻色子体系实现的，量子比特互换时并不会出现负号。于是我们在用量子比特去描述电子的激发/退激发时，需要记录下跃迁途径中越过的电子数。
用数学语言来说，这就是约尔当-维格纳（Jordan-Wigner）变换，见下图：
约尔当-维格纳变换来源：Qiskit.org
你可能会疑惑，这不是把问题搞得更复杂了吗？原本一个电子的运动，你现在要操作一堆量子比特才能实现。
的确是的，但我们这样做是有回报的：原本Hartree-Fock态空间被极大地扩充了。这一扩充使得我们能找到能量更低、与现实情形更相符的基态。
特别地，通过在量子比特之间引入纠缠，我们可以刻画电子之间的关联，从而大大改善Hartree-Fock近似。
Clifford拟设原则上我们可以直接在扩展之后的多量子比特态空间中去搜索整个体系的最低能量态，这就是所谓的变分量子本征求解器（VariationalQuantumEigenSolver）。
但是我们知道，多量子比特的态空间实在太大了，是指数维的连续空间。直接在这么大的空间中去搜索某个态，或者说是某个点，实在太困难了。
我们先想办法把这整个连续空间简化为一些合理分布的离散点，然后再从这些离散的点中找出能量最低的。这样虽然不一定能得到精确的基态，但有可能非常接近，如果你简化得足够合理的话。
Clifford拟设就是一种非常特殊的简化方式，而且很形象易懂。
我们前面说了，可以用量子比特的
1和
0状态来标记分子轨道是否有电子占据。从布洛赫球面来看，这对应着南极点和北极点。
但是，一旦我们把问题用量子比特体系重新表述之后，就可以把分子轨道和电子这些概念全都抛开，完全从量子比特的角度来重新看待这个问题了。
在布洛赫球面上，其实北极点和南极点并没有什么特殊的地方，只是构成了一组所谓正交基矢罢了。
人们有时候也选择X轴或者Y轴与球面相交的点来作为基组，见下图：
量子比特的不同基组
如果我们只有一个量子比特，就只需要在布洛赫球面上找到某个特定点。
一个近似的做法是，先弄清楚这个点更接近哪个基组的基矢，也就是更接近那个坐标轴。换句话说，我们把整个布洛赫球面简化成六个点，然后在这六个点中找到能量最低的点。这些点之间的互相转换可以用一些特定的转动来实现。
事实上我们只需要两个基本的转动操作就可以了。第一个是绕Z轴转动π/2角度，我们把它叫做S门。另一个可以选成绕Y轴转动π/2角度。不过人们习惯于再复合一个绕X轴的度转动，得到所谓的H门。这样做的一个好处是作用两次H门就回到了原来的位置。
对于多个量子比特，我们除了允许每个量子比特各自处在坐标轴上以外，还允许它们以一种特殊的形式成双成对地出现。一个著名的例子是贝尔态：
我们用一个特定的双比特门来实现它们之间的这种特殊关联——受控非门CNOT，如下图：
受控非门CNOT
其经典含义是，仅当上面的比特处于状态
1时，翻转下面的比特。注意这一功能可以用模2加法来实现，所以下面的受控比特上画的其实是。
量子情形的推广可以从量子叠加原理得出，这里不再详述。
我们把仅由S，H和CNOT门组成的电路称为Clifford电路。把Clifford电路作用在Hartree-Fock初始态上，就得到了描述分子的Clifford拟设。
Clifford拟设的优点在具体实践过程中，人们往往将变分电路中的转动角度加以限制来实现特定的Clifford电路，如下图：
Clifford拟设。这个例子中固定元件是CNOT门，而转动门的可调角度是π/2的倍数来源：.
不难看出，上图确实可以通过S，H以及CNOT门来实现。不过，这样固定电路结构，仅通过改变转角的方式得到的是一些特殊的Clifford电路。
下图很好地展示了Clifford拟设可得到的态的分布情况：
Clifford拟设可得到的态在希尔伯特空间中的分布来源：.
从上图我们可以明显看出，Clifford拟设大大拓展了Hartree-Fock近似所处的Z-基矢态，哪怕局限在固定的电路架构中。
因此，我们期望它会在一定程度上改善Hartree-Fock的计算结果。事实上确实如此，以氢气分子为例，二者基态势能曲线（也就是不同键距下的能量）的结果如下图：
势能曲线来源：.
这里黑色虚线是
阳离子能量，先不用管它。红线可以认为是精确值，浅蓝线是Hartree-Fock近似，而绿线是Clifford拟设给出的结果。
可以看出，Clifford拟设在平衡构型附近跟Hartree-Fock近似差别不大，但远离平衡构型后，迅速趋向精确值，从而大大改善了Hartree-Fock近似。
我们可以通过对比量子比特表述下的哈密顿量中的各项在不同方法里的贡献来细致分析这种改善的原因，见下图：
计算键距为4.8时LiH基态能量时，哈密顿量各项在不同方法中的贡献来源：.
图中红色菱形为Clifford拟设，蓝色圆点为Hartree-Fock近似，绿色星号为精确结果。
可以看出，Hartree-Fock近似下，只有哈密顿量中仅含Z分量时有非零贡献；Clifford拟设则将一些纯Z项的贡献转移到了一些ZX混合项之中。
而最有意思的是，精确结果完全是在Clifford拟设上的细小扰动。这表明，通过Clifford拟设，我们是有可能在整个希尔伯特空间中非常接近真实基态的。我们甚至可以在Clifford拟设基础上，做一些扰动来进一步逼近真实基态。
仍然以
分子为例，我们尝试在Clifford电路中加入额外的T门，也就是绕Z轴的π/4转动，结果如下：
势能曲线来源：.
这里红线仍然是精确值，绿线仍然是Clifford拟设的结果，而深蓝线是在Clifford拟设上加入一个T门后的结果。
可以看到，仅仅加入一个T门就几乎完全消除了Clifford拟设与精确值在中间区域的差异。
Clifford拟设的不足但是，我们要注意到，Clifford电路是有先天性的不足之处的。
尽管Clifford电路既存在量子叠加，也存在量子纠缠，但却无法体现出量子优越性。
因为Gottesman-Knill定理告诉我们，Clifford电路是可以用经典计算机来有效模拟的。所以有朋友开玩笑地说，Clifford电路是没有（量子）“灵魂”的。
下面这个图形象地说明了这一点：
不同近似下态空间大小来源：.
可以看到，不仅Clifford电路是可以用经典计算机有效模拟的，如果我们加入的T门比较少，结果仍然一样。
至于需要加入多少T门，才能真正体现出量子电路的优越性，仍然需要进一步的探索。
从这个意义上说，这里的Clifford拟设可以视为一种量子启发的经典算法，为后续的量子算法提供了很好的出发点。或许，我们可以称之为“量子版”的Hartree-Fock近似。
Clifford拟设的另一个弊病是，需要搜索的点集是随量子比特数指数式增大的（尽管不再是指数维的连续空间），而离散情形的经典优化算法往往比连续情形的更加复杂。
这使得整个搜索过程极为耗时。这一问题与常规的变分电路遇到的困难是一脉相承的。
最近，我们提出了一种从体系哈密顿量的主导项直接构造Clifford近似解的快捷方法，以后有机会向大家详细介绍。
参考文献：
1.Schrdinger-HeisenbergVariationalQuantumAlgorithms,Zhong-XiaShangetal.,arXiv:..2.CAFQA:Aclassicalsimulationbootstrapforvariationalquantumalgorithms,GokulSubramanianRavietal.,InProceedingsof28thConferenceonArchitecturalSupportforProgrammingLanguagesandOperatingSystems(ASPLOS).ACM,NewYork,NY,USA.arXiv:..3.CliffordCircuitInitialisationforVariationalQuantumAlgorithms,M.H.Chengetal.,arXiv:..4.StabilizerApproximation，XinyingLi,JiananWang,ChuixiongWu,FenZuo，arXiv:..作者简介：左芬，上海微观纪元数字科技有限公司算法总监。中国科大理论物理学博士，本科就读于中国科大少年班，在中科院理论物理所、高能物理所、意大利国家核物理研究所从事博士后工作，曾任华中科技大学副教授。主要研究方向为粒子物理、弦论、量子计算和相关代数结构。